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Le 05.07.2012

Un peu de maths pour rendre la circulation plus fluide

Situation typique : une salle est remplie d’individus qui se dirigent tous en même temps vers la sortie. Résultat, l’évacuation est pénible, lente et parfois dangereuse ! Il y a pourtant une solution simple pour améliorer le phénomène mais elle n’est pas intuitive : placer un poteau en amont des portes. Cette efficacité est démontrable grâce à la dynamique des fluides. Explications, à quelques jours des grands départs en vacances...
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« Nous faisons de la modélisation du trafic routier avec des modèles macroscopiques. On ne tente donc pas de reproduire le trajet de chaque véhicule : on étudie plutôt l’évolution, dans l’espace et dans le temps, de certaines variables comme la densité des voitures ou leur vitesse moyenne. Puis on essaie de prédire les lieux où vont se former des bouchons, et les endroits où la circulation sera gênée ou interrompue », explique Paola Goatin, dans le cadre de l’équipe de recherche Opale, à Inria (Grenoble et Sophia Antipolis).

Les modèles mathématiques utilisés par l’équipe reposent sur des équations aux dérivées partielles, issues de la dynamique des fluides. Ces modèles permettent d’expliquer pourquoi un poteau placé sur le chemin d’une foule peut améliorer son écoulement : en fait, la pression entre les individus diminue ! Dans le cas du trafic routier, ces modèles considèrent une autoroute, par exemple, comme un tuyau où s’écoule un fluide. Avec ces équations, on décrit quelles peuvent être les évolutions de la densité moyenne de voitures, sur le parcours et au fil du temps. « Les conducteurs sont influencés par leur perception immédiate des événements qui se déroulent devant eux. Ce type de considération amène à adopter des modèles anisotropiques, à différence de ceux qui simulent le comportement des gaz notamment », souligne Paola Goatin

S’agissant de quantités moyennes, on ne peut donner qu’une description qualitative du système, qui ne tiendra pas forcement comptes de toutes les variables en jeu.

Mais un événement banal, comme le ralentissement marqué d’une voiture, aura parfois des répercussions très importantes sur l’écoulement du trafic. « En pratique, cela oblige à réactualiser assez souvent les données décrivant l’état du réseau routier. En introduisant les corrections nécessaires, on parvient à notre objectif de décrire un comportement moyen », poursuit Paola Goatin.

Au final, beaucoup d’événements imprévisibles empêchent une prédiction au-delà de quelques minutes. Par contre, dès lors qu’une cause est bien identifiée, les modèles fournissent de bonnes prédictions : les conséquences d’un bouchon, par exemple, seront assez bien connues à l’avance (durée, taille, évolution dans le temps).

Mieux comprendre les phénomènes liés au trafic routier est un enjeu sociétal majeur. A la clé, une réduction du coût économique et écologique des transports routiers. Ainsi, la Communauté Européenne soutient les projets de recherche qui vont dans ce sens.

De la chasse aux bouchons à l’évacuation des foules

En 2010, le projet TRAM3 a bénéficié d’un financement européen accordé à Paola Goatin. Comme elle l’explique : « Ces recherches concernent le trafic routier mais aussi piétonnier, puisque nous étudions les phénomènes liés à l’évacuation de grandes foules. D’un point de vue mathématique, le trafic routier est plus simple à modéliser, car les voitures évoluent essentiellement dans une dimension spatiale, tandis que les piétons se déplacent en deux dimensions. »

Les modèles mathématiques d’équations aux dérivées partielles sont utilisés dans les deux cas. « Un de nos objets d’étude est de vérifier le caractère bien posé de ces modèles, pour s’assurer qu’il existe une solution, qu’elle soit unique et stable », souligne Paola Goatin. Pour exemple, de très petites variations dans la situation de départ doivent conduire à des résultats mathématiques très proches.

En plus, dans le cas d’une foule, des facteurs tels que la panique compliquent la description des mouvements : « on essaie de tenir compte des différents cas de figure qui peuvent se présenter, lesquels ne sont pas toujours rationnels. Mais on peut néanmoins capter certains phénomènes caractéristiques avec des modèles mathématiques adéquats et c’est tout l’esprit du projet », conclut-elle.

 

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